SA/MA/01 3. a) Sean f(x) y g(x) dos funciones que cumplen las condiciones del teorema de Gauchy y tal que ¡OJO FORMULA! b) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! c) No se puede aplicar porque no queda como indeterminación ni ¡OJO FORMULAS! 1. a) ¡OJO FORMULAS! b) Un sistema compatible y determinado de ecuaciones lineales es un sistema en el que a cada incognita le corresponde una única solución. Esto ocurre cuando el rango de la matriz ampliada, es decir, la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas y el termino independiente, es igual al rango sólo de los coeficientes entonces el sistema tiene solución. En terminos matemáticos Teorema de Rouché Erobecirus ¡OJO FORMULA! El sistema de ecuaciones tiene solución Pero para que sea compatible determinado el nº de incognitas tiene que ser igual que el valor del rango, es decir ¡OJO FORMULA! ¡OJO FORMULA! - C. Determinado r = n (nº de incógnitas) - C. Indeterminado r < n (¡SIMBOLO! soluciones) Un sistema de Cramer es aquel que tiene siempre el mismo nº de incógni- tas que de ecuaciones, es decir: ¡OJO FORMULAS! Otra condición que se tiene que dar es que el determinante del o la matriz de los coeficientes sea distinto de 0, es decir ¡OJO FORMULA! Para hallar las incógnitas ¡OJO FORMULAS! ¡BORRADOR! SA/MA/02 a) ¡OJO FORMULAS! (Ya tenemos la función que tenemos que integrar) ¡OJO FORMULAS! b) Un sistema es compatible determinado cuando ¡OJO FORMULA! y el ¡OJO FORMULA!, es decir, cuando existe una solución única Regla de Cramer dice: Que cuando un sistema tiene el mismo nº de incognitas que de ecuaciones y ¡OJO FORMULA! podemos aplicar el método de Cramer a dicho sistema, por ejemplo tenemos un sistema de tres ecuaciones y tres incognitas: ¡OJO FORMULAS! Para hallar el valor de la x hariamos lo siguiente: ¡OJO FORMULA! Es decir cada incognita tiene una única solución. 3. a) Regla del Hôpital: Sean f(x) y g(x) dos funciones que cumplen el teorema de Cauchy y que ¡OJO FORMULAS! la regla del Hôpital se basa en Cauchy: El teorema de Cauchy dice que si f(x) y g(x) son dos funciones que verifican: ¡OJO FORMULAS! c) ¡OJO FORMULAS! no aparece la indeterminación de ¡OJO FORMULA! luego ya no podemos aplicar L'Hôpital. ¡BORRADOR! SA/MA/03 4ª ¡OJO FORMULAS! La recta que se pide es la siguiente: ¡OJO FORMULA! 1ª) b) Un sistema compatible y determinado, es un sistema de ecuaciones en el que se dan las siguientes condiciones: - 1º que el rango de la matriz formada por los números que están multiplicando a las incógnitas sea igual que el rango de la matriz ampliada de ese sistema. - 2º que el rango sea igual al numero de incógnitas Estos sistemas tienen una sola solucion cada incógnita y esta solucion, se puede hallar por la regla de Cromer y se daria así. Por la regla de Cromer se van resolviendo las incógnitas una a una. Supongamos una incognita cualquiera, para empezar tiene que ser un sistema Com. Deter. Luego tenemos que saber la solución del determinante for mado por los numeros que multiplican a las incógnitas. Entonces la incognita seria: El determinante formado por los número que multiplican a las incógnitas, pero sustituyendo la columna que que corresponde a los números que multiplican a incognita que queremos hallar, por la columna que forman los nú- meros que están del lado del signo "=" en el que no hay incógnitas. Luego este determinante se divide por el que ya habíamos hallado antes (el que forman los números que multiplican las incognitas) y ya hemos hallado la incóg- nita. Esto se repite con cuantas incógnitas halla a) ¡OJO GRAFICO! SA/MA/04 3.- El enunciado de la regla de l'Hôpital dice así: Sean dos funciones f(x)m, y g(x); dado que son polinomios existe el cociente de ellos, y además a) existe también el límite del cociente de las derivadas. Por otro lado el límite del cociente de funciones es igual al límite del cociente de las funciones derivadas. ¡OJO FORMULAS! Entonces, de acuerdo con esta regla los limites de la indeterminación ¡OJO FORMULA!, pueden ser resueltos con mucha más facilidad. b) ¡OJO FORMULAS! c) No puede aplicarse, pues la Regla de L'Hôpital es sólo para resolver casos de indeterminaciones ¡OJO FORMULA!; y si comen- zamos a realizar derivadas en el numerador, llega un momento que al hacer el limite, sale: ¡OJO FORMULA! -> que es ¡SIMBOLO!; con lo que no puede resolverse. 1. ¡OJO FORMULAS! SA/MA/05 3. a) Si tenemos dos funciones f(x) y g(x) y ¡OJO FORMULA! entonces este límite coincide con el de ¡OJO FORMULA! b) ¡OJO FORMULAS! c) No, porque contiene la expresión ¡OJO FORMULA! 1. a) ¡OJO FORMULAS! b) Sistemas compatibles son aquellos que tienen solución y si son compatibles determinados es que su solución es única. Regla Cramer Un sistema de ecuaciones lineales es de Cramer cuando el numero de incógnitas es el mismo que el de ecuaciones y el determinante de la matriz no es nulo. Todo sistema de Cramer tiene solución única, y el valor de cada incógnita se halla dividiendo por el determinante de la matriz, el determinante que resulta de sustituir dicha matriz la columna de los coeficientes de esa incógnita por la de los términos independientes. Ejemplo Tenemos el siguiente sistema ¡OJO FORMULA! Este sistema tiene solución de la siguiente manera ¡OJO FORMULAS! Demostración Tenemos el siguiente sistema de Cramer: ¡OJO FORMULA! Escrito en forma matricial: ¡OJO FORMULA! Como ¡OJO FORMULA!, entonces existe A-1, y multiplicandolo por la anterior igualdad queda: ¡OJO FORMULA! Que es igual a: ¡OJO FORMULA! Y por tanto: ¡OJO FORMULA! Donde el numerador es el desarrollo del determinante Bi por la columna i-ésima, y Bi es el determinante que resulta de sustituir en A la columna 1-ésima por la de los términos inde-pendientes. (Por tanto la solución es igual que la descrita antes en el ejemplo) SA/MA/06 1. b) Sistemas compatibles y determinados de ecuaciones lineales. * Un sistema es compatible cuando el rango de la matriz es igual al rango de la matriz ampliada. Y es incompatible cuando sus rangos son diferentes. Si un sistema es compatible puede ser también determinado si el rango de la matriz, que es el mismo que el de la ampliada, coincide con el nº de incognitas de la ecuación. Sino coincide, el sistema será indeterminado. 2. a) Teorema del valor medio de Lagrange. Si f(x) es una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) entonces hay un punto c en (a,b) tal que: ¡OJO FORMULA! Demostración Tomamos la función h(x) como ecuación directriz. ¡OJO FORMULA! Teniendo en cuenta que f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y en función de lo que dice el teorema de Rolle podemos encontrar un punto ¡OJO FORMULA! tal que: ¡OJO FORMULA! SA/MA/07 2.a) DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE LAGRANGE. Enunciaremos primero el Tª para luego basar en ello la demostración: ENUNCIADO.- Sea f(x) una función definida en el intervalo cerrado [a,b]. Si f(x) es continua en [a,b], intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe un punto x0, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que su derivada vale: ¡OJO FORMULA! DEMOSTRACION: Para la demostración del Teorema de Lagrange definiremos la siguiente funcion auxiliar ¡OJO FORMULAS! F(x) = continua en el intervalo cerrado [a,b], que su suma Y producto de funciones continuas. F(x) = derivable en el intervalo abierto (a,b), por su suma y producto de funciones derivables. Evaluaciones en [a,b]: ¡OJO FORMULAS! De aquí deducimos que F(a) = F(b) Esto cumple las hipotesis del Tª de Rolle, función continua en [a,b], derivable en (a,b) y los extremos iguales enton- ces: ¡OJO FORMULA! . Ahora hacemos F'(x0): ¡OJO FORMULAS! La derivable en (a,b) ¡OJO FORMULA! /tangente a y = f(x) en (C, f(x)) es paralela a la recta que pasa por (a,f(a) y (b,f(b)) Es una aplicación del propio Teorema de Lagrange. ¡OJO GRAFICO! Cuando la derivada es: ¡OJO FORMULA! b-a, es la pendiente de la recta. Como el Tª de Lagrange viene deducido del Tª de Rolle. La recta tangente será paralela en el caso de que: Máximo = mínimo. Teniendo como conjunto imagen [M,m]. Si se da el caso de ¡OJO FORMULA! Al ser cte en la pendiente se cumpliría. b) ¡OJO DIBUJO! Al ser un cuerpo geometrico la diagonal corresponderia a la diagonal de otra cara. Quizas puede ser aplicado por el calculo de la distancia el Tª de Balzano, en el llamado "Problema del Monje" ¡OJO FORMULA! 1º) b) Hablaremos de sistema compatibles y deter- minado, cuando los sistema tengan solución única. Ejem: ¡OJO FORMULA! El sistema es compatible y determinado y la solución es única. REGLA DE CRAMER La regla de Cramer esta en concordancia con lo anteriormente expuetso. La Regla de Cramer sirve para la resolución de sistemas compatibles determinados. Pero para que se pueda aplicar la Regla de Cramer y el sistema sea compatible determinado tiene que cum- plir lo siguiente: . Que el nº de ecuaciones sea igual al número de incognitas. . Que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero ¡OJO FORMULA! En el siguiente sistema de Cramer ¡OJO FORMULAS! Llamamos matriz de coeficientes a: ¡OJO FORMULAS! Para resolverlos, se divide la matriz que resulta de sustituir cada fila por ¡OJO FORMULA!, que la matriz de coeficiente La la columna (1) se le llama columna i-esima. a) ¡OJO FORMULA! Los limites de inte- gracion son b y 0 Ecuación circunferencia ¡OJO FORMULAS! SA/MA/08 2.- a) Demostrar el teorema del valor medio de Lagrange. Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado y es derivable en ese mismo intervalo pero abierto, entonces existirá un punto c que pertenece a dicho intervalo abierto que cumple lo siguiente: ¡OJO FORMULAS! D) Construimos una función ¡OJO FORMULA! y suponemos que cumple las condiciones del teorema de Rolle. ¡OJO FORMULAS! Si se cumplen las condiciones anteriores, entonces el teorema está demostrado ¡OJO FORMULAS! F(a) sí es igual a F(b). F(x) derivable? ¡OJO FORMULAS! Es derivable y por tanto es continua. Sí se cumplen las condiciones y por tanto sí podemos aplicar Rolle, de tal manera que existe un c que pertenece al intervalo abierto (a,b) tal que F'(c) = 0. Ahora bien, como hemos demostrado en la última parte, ¡OJO FORMULA! y por tanto ¡OJO FORMULA! 1.- b) Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Además, será determinado cuando el rango coincida con el número de incógnitas. Un sistema se dice que es de Cramer cuando el rango de la matriz de los coe- ficientes es igual al rango de la matriz ampliada, el rango es igual al número de incógnitas (es decir, un sistema compatible determinado) y además el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. La regla de Cramer sólo se podrá cumplir cuando un sistema cumpla las condiciones anteriores. Supongamos que el siguiente sistema es un sistema de Cramer, es decir, que cumple las condiciones necesarias para que se pueda cumplir la regla de Cramer: ¡OJO FORMULA! El modo de resolverlo es el siguiente: La x se calcula dividiendo el determinante de la matriz que resulta de sustituir la columna de las equis por la columna de los terminos independientes por el determinante de la matriz de los coeficientes de aquí que dicha matriz tenga que ser necesa- riamente distinta de cero. ¡OJO FORMULA! siendo A la matriz de los coeficientes. Y así con las demás incógnitas ¡OJO FORMULA! 2.- b) Tenemos el siguiente cubo: ¡OJO DIBUJO! y se nos pide la distancia existente entre la diagonal del cubo CD y la diago- nal de una cara, por ejemplo AB cuando estas dos diagonales se cruzan, es decir, la distancia entre el punto P, perteneciente a la diagonal AB y el punto Pi perteneciente a la diagonal CD. Las diagonales de un cubo se cortan en el centro de dicho cubo y las diagonales en el centro de una cara. Si miramos el cubo de tal manera que sólo veamos la cara de vértices A,B,C,E, veremos que los dos puntos P1 y P2 coinciden, nos parecerá un sólo punto. Como los puntos son respectivamente el centro del cubo y el centro de una cara, vemos claramente que la distancia entre ambos puntos será la que hay entre el centro del cubo y una de las caras. Si el lado del cubo es R, se ve claramente que la distancia es ¡OJO FORMULA! 1 a) Tenemos la siguiente figura que resulta al girar una circunferencia sobre el eje y=0, esto es, el eje OX. ¡OJO FIGURA! El volumen será igual al número ¡PI! por la integral entre 2r+b y b de la función ¡OJO FORMULA! al cuadrado. ¡OJO FORMULAS! Simplificando que el volumen es: ¡OJO FORMULA! SA/MA/09 1. ¡OJO FORMULAS! Como r y b son constantes: ¡OJO FORMULAS! b) Los sistemas compatibles y determinados de ecuaciones lineales son aquellos que tienen única solución, el rango de los coeficientes del sistema es igual al rango de la ampliada: P. ejemplo: ¡OJO FORMULAS! Para resolver estos sistemas por Cramer: 1º hay que ver si los rangos coinciden y si el deter- minante es distinto de cero. 2º Para hallar por ejemplo la x se sustituye la columna de las x por el de los terminos independientes. ¡OJO FORMULA! 3º y se divide por el determinante A Ocurriría lo mismo cion las demás incognitas; Así se halla la única solución para cada incognita. 3- a) Sea f(x) una función continua en un intervalo Entonces si el limtie cuando x tiende a cero da la solución de ¡OJO FORMULA! es derivable. b) ¡OJO FORMULA! hay que resolverlo por la manera que se resuelven estos límites. ¡OJO FORMULA! como es este resultado y no se puede hacer de otra manera se puede aplicar la regla de L'Hopital, derivando arriba y abajo independientemente. ¡OJO FORMULA! Luego el limite es igual a infinito. c) ¡OJO FORMULA! No puede aplicarse la regla de L'Hopital porque ¡OJO FORMULA! cuando x -> 0 será siempre ¡SIMBOLO!. Y la derivada del sen ¡OJO FORMULA! y los ¡OJO FORMULA! siempre dara el resultado de ¡SIMBOLO! por tanto no puede resolverse por esta regla. SA/MA/10 4) ¡OJO FORMULA! La recta r tiene como vectores directores ¡OJO FORMULA! y otro vector director seria ¡OJO FORMULAS! La recta S tiene como vectores directores ¡OJO FORMULA! y otro vector director sería ¡OJO FORMULAS! El vector director resultante de la recta r y de la recta s seria: ¡OJO FORMULA! El (-32, -8, -8) seria el vector director ¡OJO FORMULAS! y como el valor del punto (1,-1,2) lo sustituye en los valores de la (x,g,z) ¡OJO FORMULA! 1) b) Un sistema es compatible determinado cuando el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz ampliada. rango (A) = rango (A) EL SISTEMA sería COMPATIBLE DETERMINADO Entonces el sistema tendria soluciones. Y si el sistema fuera compatible indeterminado tendria infinitas soluciones. - El sistema es incompatible indeterminado cuando el rango de la matriz A es distinto del rango de la ampliada. ¡OJO FORMULA! Aqui también serian determinados e indeterminados. DETERMINADOS COMPATIBLES INDETERMINADOS SISTEMAS DETERMINADOS INCOMPATIBLES INDETERMINADOS REGLA DE CRAMER: La regla de Cramer se utiliza cuando en el sistema hay el mismo nº de ecuaciones que de incognitas, entonces se dice que f es un sistema de Cramer. EJEMPLO: ¡OJO FORMULA! Este seria un sistema de Cramer porque hay 3 ecuaciones con 3 incognitas. Las incognitas serían (x1, x2, x3). Para hallarlo hariamos lo siguiente: Por ej. para hallar la x1: ¡OJO GRAFICOS!