OV/MA/01 ALTERNATIVA 1: 1.1. Ecuación general de un plano ¡OJO FORMULA! Origen de coordenadas ¡OJO FORMULA! Distancia de un punto a un plano ¡OJO DIBUJO! multiplicando escalarmente la expresión anterior por el vector normal del plano a ambos lados del igual pasa que no varíe la expresión, entonces: ¡OJO FORMULA! P es un pto cualquiera A es un pto del plano Q es la proyección de P en el plano n el vector normal del plano ¡OJO FORMULA! Es valor absoluto porque una distancia no puede ser negativa. ¡OJO FORMULAS! Si el punto es el P(0,0,0) y el plano es ¡OJO FORMULA! entonces la distancia entre ellos será la siguiente: ¡OJO FORMULA! a) Para multiplicar dos matrices lo que se hace es multi- plicar escalarmente cada miembro de la primera matriz por los miembros de la segunda, de la siguiente manera ¡OJO FORMULA! La condicion para que se pueda realizar el producto de dos matrices es que el número de filas de la primera matriz sea igual al número de columnas de la segunda matriz. No es posible que para dos matrices A y B no cuadra- das puedan existir A.B y B.A, ya que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. a) ¡OJO FORMULA!; desglosando el valor absoluto -> ¡OJO FORMULA!; haciendo la primera derivada-> ¡OJO FORMULA! igualando la primera derivada a o se sabe cuáles pueden ser los máximos y mínimos relativos sabiendo los signos que toma la primera derivada a ambos lados de dichos puntos ¡OJO FORMULA! este valor no está dentro del intervalo ¡OJO FORMULA!, por lo que no lo considero. ¡OJO FORMULA! Tomando valores de x a ambos lados de 1 que es el valor posible de que sea un máximo y un minimo obtengo lo siguiente: ¡OJO GRAFICO! Si la 1ª derivada es negativa, la función original es decreciente, y si es positiva es creciente. Entonces esta función es decreciente ¡OJO FORMULA! desde -1/2 hasta 1 y creciente desde 1 hasta 3/2. Por tomar la función distinta monotonía a ambos lados del 1 éste es un mínimo, en este caso porque la función pasa de decreciente a creciente. por pasar por el origen -> c=0 por tener un pto crítico en x=1 -> ax+b=0 por valer el area que determinan con el eje de abasces ¡OJO FORMULAS! OV/MA/02 (sub)ALTERNATIVA 2(\sub) 2.3 Dados el punto M(3,-2,-4), la recta ¡OJO FORMULAS! a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M, es paralela al plano ¡PI! y corta a la recta r. b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M, es paralelo a la recta r y perpendicular a ¡PI!. a) Esquema: Estrategia: Conociendo ¡OJO GRAFICO! un punto de la recta a conocer "S" y un punto cualquiera de "r" obtengo el vector PM paralelo al plano ¡PI! y por tanto el pro- ducto vectorial del vector director de ¡PI! "w" y de "PM" tiene que ser igual a cero después despejando obtengo el vector PM director de la recta pedida. Ecuación de la recta ¡OJO FORMULA! Calculos: ¡OJO FORMULAS! Sustituyendo en el vector: ¡OJO FORMULAS! b) Esquema: Estrategia: Para determinar la ¡OJO GRAFICO! ecuación de un plano necesitan conocer un punto por donde pasa y 2 vectores paralelos a dicho plano. En el problema en cuestión tenemos las 3 cosas Calculos: Mediante el determinante: ¡OJO FORMULA! obtenemos la ecuación del plano. ¡OJO FORMULAS! 2.1. a) Probabilidad condicionada de un suceso por la realización de otro. b) Probar que la probabilidad condicionada por un suceso dado satisface los axiomas de la probabilidad. a) La probabilidad condicionada de un suceso por la realización de otro por definición es: P(A)= probabilidad de un suceso A ¡OJO FORMULA! P(B)= " " " " B En el caso de sucesos independientes como ¡OJO FORMULA! entonces P(A/B) = P(A) b) Los axiomas de probabilidad son 3: 1º) ¡OJO FORMULA! 3º) ¡OJO FORMULA! 2º) ¡OJO FORMULA! en el caso de probabilidades condicionales se cumple que: ¡OJO FORMULAS! Y como ¡OJO FORMULA! se cumple que ¡OJO FORMULA! 2º) En este caso P(E)=1 se cumple también 3er Axioma 3º para sucesos independientes ¡OJO FORMULA! 2.2. a) Define primitiva de una función Siendo f(x) una función se dice que la primitiva de f(x) es igual a F(x) y se obtiene integrado la función. Si tenemos una función F(x) siendo F'(x) = f(x) la primitiva de f(x) es F(x). ¡OJO FORMULA! b) Calcular: ¡OJO FORMULA! Por partes tenemos: "(método de integración) ¡OJO FORMULAS! OV/MA/03 1. La distancia desde P(0,0,0) hasta el plano x viene dado por la distancia desde P hasta su proyección ortogonal sobre el plano (Q). ¡OJO GRAFICO Y FORMULA! Si consideramos un punto ¡SIMBOLO! del plano, que viene dado en la ecuación vectorial del plano ¡OJO FORMULA! Tendremos: . Si multiplicamos vectorialmente por el vector ¡OJO FORMULA! normal al plano: ¡OJO FORMULA! Dado que ¡OJO FORMULA!, tendremos: ¡OJO FORMULA! Ecuación para hallar la distancia de un punto a un plano. La ecuación general del plano es: ¡OJO FORMULA! donde A, B y C son las coordenadas del vector normal ¡OJO FORMULA! Las coordenadas del vector ¡SIMBOLO! serán las mismas que las del punto ¡SIMBOLO!, ya que dicho vector es su vector de posición. Luego la expresión antes deducida nos quedará: ¡OJO FORMULAS! 2. Producto de matrices: Dadas dos matrices A y B ¡OJO FORMULAS! Su producto sería: ¡OJO FORMULAS! De donde se deduce que una condición necesaria e imprescin- dible para que se pueda multiplicar dos matrices es que el nº de columnas de la primera coincida con el nº de filas de la segunda. * Si dos matrices no cuadradas, p. ej. ¡OJO FORMULA! se pueden multiplicar de la forma A.B A.B sería posible, pues el nº de columnas de A = nº de filas de B; Pero el caso contrario no seria posible, pues el nº de columnas de B no coincide con el nº de filas de A, luego no existe B.A ¡OJO FORMULAS! 3) a) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! OV/MA/04 ALTERNATIVA 1.- PROBLEMA 1.- Según los datos del problema, se tiene un plano ¡OJO FORMULA! cono- cido y un punto que es el origen de coordenadas (0,0,0). De la ecuación del plano obtenemos un vector perpendicular al mismo, que es ¡OJO FORMULA! y con él y el punto (0,0,0) escribimos la forma continua de la recta perpendicular al plano ¡PI! y que pasa por el orígen de coordenadas: ¡OJO FORMULAS! ¡OJO FORMULA! A partir de esta ecuación obtenemos la de uno de los pares de planos cuya intersección da lugar a r, como pueden ser: ¡OJO FORMULAS! Tenemos pues, la ecuación de un plano y la de una recta que corta el plano perfectamente hallados. Hallamos por un sistema el punto de corte de la recta con el plano y obtendríamos un punto de coordenadas ¡OJO FORMULA!. Con este punto y el origen de coordenadas, hallamos el vector OP, que coincide numéricamente con el punto ¡OJO FORMULA! Finalmente, la distancia entre esos dos puntos es el módulo del vector ¡OJO FORMULA! PROBLEMA 2.- Se llama producto de dos matrices A y B y se escribe AxB a otra matriz C, cuyos elementos son el resultado de la suma de los productos de los elementos de las columnas de A por las filas de B. Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que la 1ª sea de orden mxn y la segun- da nxp, siendo su resultado una matriz de orden mxp,cuyo elemento ¡OJO FORMULA! Si dos matrices A y B son no cuadradas, AxB y BxA no pueden existir ambos, puesto que, dadas dos matrices A y B cualesquiera no cuadradas, por ejemplo A (orden mxn) y B (orden nxp), su producto AxB va a ser en este caso de orden mxp, pero si multiplicamos BxA, el nº de filas de B (al no ser cuadradas las matrices) no es igual al nº de columnas de A, por tanto, y como ya expliqué arriba, no se pueden multiplicar. El producto de matrices no es conmutativo. Una matriz simétrica es aquella que cumple que si cambiamos filas por columnas la matriz no varía. Genéricamente para orden z: ¡OJO FORMULA! La condición del problema: ¡OJO FORMULA! Condición de igualdad de matrices: ¡OJO FORMULA! PROBLEMA 3.- ¡OJO FORMULA! Esta función se desglosa en otros dos: ¡OJO FORMULA! ¡OJO FORMULA! Tomemos ¡OJO FORMULA! para valores x>0 y observemos que cuando ¡OJO FORMULA! y cuando ¡OJO FORMULA!, luego es decreciente en 1>x>0 y creciente en x>1, teniendo un míimo en x=1 Tomemos ahora ¡OJO FORMULA! para valores x<0 y se observa que cuando ¡OJO FORMULA! que cuando ¡OJO FORMULA!, luego esta función será decreciente en ¡OJO FORMULA! y cre- ciente en ¡OJO FORMULA!, teniendo un mínimo en x=-1. Ahora bien, dentro del intervalo pedido y tomando la función como ¡OJO FORMULA! será: creciente desde ¡OJO FORMULA!, decreciente [0,1] y creciente ¡OJO FORMULA! con un mínimo absoluto en x=1 La ecuación general de una parábola es ¡OJO FORMULA! Si ha de pasar por O ¡OJO FORMULA!, luego tenemos una parábola de ecuación ¡OJO FORMULA! cuya derivada seá: ¡OJO FORMULA!. Para que en x=1 tenga un máximo o un mínimo ¡OJO FORMULA!, luego ¡OJO FORMULA! Luego la ecuación será ¡OJO FORMULA!. Una de las gráficas será ¡OJO FORMULA! y la otra ¡OJO FORMULA! El área comprendida entre éstas y el eje de abscisas será ¡OJO GRAFICO! OV/MA/05 MATEMATICAS I. ALTERNATIVA 1 1.1. (sub)Distancia de un plano al origen de coordenadas(\sub) El plano viene dado por la ecuación general o implícita: ¡OJO FORMULA! El punto es el origen de coordenadas P(0,0,0) ¡OJO GRAFICO! Supongamos el plano ¡ALFA! y el punto P. La distancia del punto al plano será la recta ¡SIMBOLO! siendo Q el punto de corte del plano ¡ALFA! con la perpendicular trazada al plano por el punto P. Si ¡SIMBOLO! es un punto cualquiera perteneciente al plano ¡ALFA!, entonces tenemos que: ¡OJO FORMULA! Si multiplicamos la expresión anterior por el vector normal del plano ¡SIMBOLO! obtendremos: ¡OJO FORMULA! ¡OJO FORMULA!, ya que son perpendiculares y el producto escalar de dos vectores perpendiculares es igual a cero, ya que forman un ángulo de 90o cuyo coseno es 0. Nos queda: ¡OJO FORMULA! Como la distancia del punto al plano es ¡OJO SIMBOLO!: ¡OJO FORMULA! Como nos dan la ecuación del plano solo tenemos que sustituir: ¡OJO FORMULA! Ya que x1, y1, z1 son las coordenadas de P y por ser el origen: x1= y1= z1=0. 1.2 a) El producto de dos matrices da como resultado otra matriz que tendrá de orden el número de columnas de la primera matriz o el número de filas de la segunda. Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el número de columnas de la primera sea igual al nú- mero de filas de la segunda. Para dos matrices no cuadradas es posible que exista A.B y B.A ya que: Supongamos ¡OJO FORMULA! A.B -> es posible ya que el nº de columnas de A es igual al nº de filas de B B.A -> es posible ya que el nº de columnas de B es igual al número de filas de A. b) ¡OJO FORMULAS! 1.3 a) ¡OJO FORMULAS! - CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO ¡OJO FORMULA! - MAXIMOS Y MINIMOS En el intervalo considerado, la función pasa de c. Decreciente a estr. creciente y cambia en el punto 1, luego, este punto es un mínimo. b) ¡OJO FORMULA! Forma de la ecuación de una parábola ¡OJO FORMULA! Plantearía un sistema de tres ecuaciones del que obten- dría la ecuación buscada. OV/MA/06 (sub)ALTERNATIVA I(\sub) 1.3 a) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! Por otro lado: 3ª condición: Area con el eje de asbcisas =4(u2) En este caso las parábolas que buscamos son simétricas respecto a la linea x=1, por lo tanto si sabemos que han de pasar por P(0,0) también pasarán por (2,0). El área determinada con el eje de abscisas es: ¡OJO FORMULA! ¡OJO FORMULA! -> Esto tiene que ser igual a 4. Pues sabemos que el área que determina una función f(x) con el eje de abscisas entre 2 valores a y b tiene significado matemático en una integral tal que ¡OJO FORMULA! . igualando ¡OJO FORMULA! obtenemos un sistema a resolver . Con la ecuación anterior -2a=+b . Sustituyendo ¡OJO FORMULAS Por tanto la ecuación nos queda: ¡OJO FORMULA! . Cambiándola de signo obtenemos la otra ecuación posible que cumple las condiciones. Punto crítico: ¡OJO FORMULA! Punto crítico ¡OJO FORMULA! 1.2. a) Si tenemos 2 matrices A y B de dimensiones respectiva- mente mxn y m'xn', la condición para que se puedan multiplicar es que n ha de ser igual a m', es decir ¡OJO FORMULA!. El resultado es una matriz C de orden mxn'. . Si es posible que para dos matrices no cuadradas A y B exista A.B y B.A. Por ejemplo: Sean A -> matriz de orden 3x2 B -> matriz de orden 2x3 ¡OJO FORMULA! b) matrices simétricas de orden 2 que cumplan que A2=A ¡OJO FORMULA! Si cambiamos filas por columnas queda igual ¡OJO FORMULA! 1.1. Distancia del origen de coordenadas a un plano; dado por su ecuación general o implícita. ¡OJO GRAFICO! Se trata de calcular la distancia de un punto A a un plano ¡PI!. Por lo tanto, según el dibujo queremos hallar ¡SIMBOLO!. 1) Podemos calcular otro punto cualquiera de ¡PI!, que llamaremos B. Por lo tanto al conocer A y B conocemos ¡SIMBOLO! n -> vector caracteristico del plano (A,B,C) 2) Mediante el producto escalar podemos calcular ¡BETA!, es decir: ¡OJO FORMULAS! 3) Conocemos ¡SIMBOLO!, ¡BETA! y el ángulo que es recto formado por ¡SIMBOLOS!. Por lo tanto tenemos 3 datos de un triángulo rectángulo. Podemos calcular cualquier dato. Así: ¡OJO FORMULA! como podemos conocer ¡OJO FORMULA! OV/MA/07 1. a) Sea (E,P(E),p) un espacio probabilístico y sean A y B dos sucesos que pertenecen a P(E) (espacio de sucesos), y P(A)¡SIMBOLO!0, se define probabilidad condicionada del suceso B condicionado a que se realice el suceso A y se representa así ¡OJO FORMULA! b) La probabilidad condicionada, por definir una probabilidad satisface los axiomas de la probabilidad. ¡OJO FORMULA! (1er axioma) . Si B y C son sucesos incompatibles ¡OJO FORMULAS! (2º axioma) ¡OJO FORMULAS! (3er axioma) 2. Sea f una función real de variable real y F una función denuable. Se llama primitiva de una función, a la función ¡OJO FORMULAS! Al conjunto de primitivas de la integral ¡FORMULA! se le llama integral indefinida y se representa por ¡OJO FORMULAS! OV/MA/08 2.2. a. Sea f(x) una función cualquiera. Definimos primitiva de una función f(x) a otra función F(x) tal que F(x)=f(x). Decimos entonces que ¡OJO FORMULA! b. ¡OJO FORMULA! Utilizando la integración por por partes sabemos que ¡OJO FORMULAS! Si llamamos ¡OJO FORMULA! Si llamamos ¡OJO FORMULAS! Ahora tenemos que solucionar ¡OJO FORMULAS! Si dividimos ¡OJO FORMULA! Entonces: ¡OJO FORMULA! Como pasa por (0,1) ¡OJO FORMULAS! Para que la recta pedida sea paralela a ¡PI! debe serlo a un vector de dicho plano. Para x=2 e y=2 tenemos que ¡OJO FORMULAS! Entonces si N(a,b,c) es un punto por el que pasa la recta pedida. ¡OJO FORMULAS! b. Para que el plano sera paralelo a la recta uno de sus vectores debe ser paralelo, como es perpendicular al otro plano el vector caracteristico de esta es otro vector del nuevo plano y ¡OJO FORMULA! debe pasar por el punto M por tanto ¡OJO FORMULAS! este es el plano M' que nos pide. 2. Lo que que tenemos que hacer es demostrar el teorema de Bayes, a partir del teorema de la probabilidad total Sea ¡OJO FORMULA! un sistema completo de sucesos es decir ¡OJO FORMULAS! Si B es un suceso cualquiera ¡OJO FORMULAS! ¡OJO FORMULA! este es el teorema de la probabilidad total. Si queremos calcular ¡OJO FORMULAS! OV/MA/09 (sub)ALTERNATIVA 2(\sub) 2.1. a) Probabilidad condicionada: probabilidad de un suceso A condicionado por otro suceso B, es el cociente entre la probabilidad de la intersección de ambos sucesos, entre la probabilidad del suceso B (el condicionado) ¡OJO FORMULA! b) Los axiomas de la probabilidad son: 1) ¡OJO FORMULA! 2) ¡OJO FORMULA! 3) ¡OJO FORMULA! Si A y B son INCOMPATIBLES. 2.2. a) La primitiva de una función f(x) es otra función F(x), cuya derivada es f(x), la función original. b) ¡OJO FORMULAS! 2.3. ¡OJO FORMULAS! Sacamos el vector director de la recta que nos mandan hallar, mediante el producto vectorial ¡OJO FORMULAS! Luego la recta pedida es: ¡OJO FORMULAS! OV/MA/10 (sub)ALTERNATIVA 2(\sub) 2.1. (sub)PROBABILIDAD CONDICIONADA(\sub) a) Se define probabilidad condicionada a la probabilidad de que ocurra un suceso A supuesta la realización de otro suceso B. Se escribe: ¡OJO FORMULAS! b) Sabemos que los 3 axiomas de la probabilidad son: 1) p(E) = 1 Podemos decir que este axioma se cumple porque en la P(A/B), A y B son sucesos que pertenecen a un espacio muestral E cuya probabilidad es 1. 2) ¡OJO FORMULA! (álgebra de sucesos) ¡OJO FORMULA! De igual forma ¡OJO FORMULAS! 3) Si ¡OJO FORMULA! Asi si dos sucesos condicionados son incompatibles, su unión resulta la suma de sus probabilidades. 2.3. ¡OJO FORMULAS! a) ¡OJO FORMULA! Una recta viene definida por un punto y un vector Tenemos el punto M. ¿Vector ? Condición Paralelismo ¡OJO FORMULAS! Además ¡OJO FORMULAS! b) * Por pasar por M ¡OJO FORMULAS! cumpliendo esas dos condiciones. * ¡OJO FORMULAS! Llegamos a la conclusión de que no puede haber un plano ¡PI! que cumpla las 3 condiciones. 2.2. Define primitiva Sea f(x) una función acotada en [a,b]. Se define primitiva de f(x) ¡OJO FORMULA! b) ¡OJO FORMULAS! Si la función primitiva pasa por (1,0) eso significa que hay función integral entre 1 y 0 comprendida por eso la he calculado.