MU/MA/01 (sub)CUESTION 3(\sub) b) ¡OJO FORMULAS! c) ¡OJO FORMULAS! a) ¡OJO FORMULAS! (sub)CUESTION 1(\sub) b) ¡OJO FORMULAS a) ¡OJO FORMULAS! MU/MA/02 CUESTION 3 c) ¡OJO FORMULA! 1. Dominio ¡OJO FORMULAS! 2. Simetría: ¡OJO FORMULAS! 3. Puntos de Corte: ¡OJO FORMULAS! 4. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento. Máximos y Mínimos: ¡OJO FORMULAS! - Intervalos de decrecimiento: ¡OJO FORMULA! - No hay ni máximos, ni minimos por el nº =2 no pertenece a la función. 5. Asintotas: ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! CUESTION 4 c) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! Extrat. Rosas = 1800 l Alcohol = 1600 l - Vende 150 pts/l -> B - Vende 75 pts/l -> A MU/MA/03 (sub)CUESTION 4(\sub) c) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! La parte del plano que verifica la incursión es el semiplano donde está el punto (10,10) ¡OJO FORMULAS! ¡OJO GRAFICO! Ha de fabricar 60 litros de A y 40 litros de B. (sub)CUESTION 1(\sub) c) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! ¡OJO GRAFICO! -> La función del seno es peiódica. MU/MA/04 (sub)Cuestion 4(\sub) b) ¡OJO FORMULAS! Solución; 60 litros del producto A ningún litro del producto B ¡OJO FORMULASLAS! (sub)Cuestion 3(\sub) c) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! (sub)Cuestion 4(\sub) a) ¡OJO FORMULAS! MU/MA/05 (sub)CUESTION 3(\sub) c) ¡OJO FORMULA! 1. Dominio ¡OJO FORMULA! 2. Simetria ¡OJO FORMULA! no son simétricas 3. Asíntota horizontal en x=2 ¡OJO FORMULA! 4. Ptos de corte ¡OJO FORMULAS! 5. ¡OJO FORMULAS! Representación ¡OJO FORMULAS Y GRAFICOS! (sub)CUESTION 4(\sub) a) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO GRAFICO! c) ¡OJO FORMULAS! MU/MA/06 (sub)CUESTION 3(\sub) a) ¡OJO FORMULAS! c) ¡OJO FORMULAS! 1) Dominio ¡OJO FORMULA! 2) No periódica 3) Simetrias ¡OJO FORMULA! No simétrica 4) Puntos de Corte ¡OJO FORMULAS! 5) Asintotas ¡OJO FORMULAS! 6) Cre-decre. Max y min ¡OJO FORMULAS! (sub)CUESTION 4(\sub) c) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO FORMULAS! a) Para que sea incompatible ¡OJO FORMULAS! MU/MA/07 (sub)Cuestion 3(\sub) c) ¡OJO FORMULA! Dominio: ¡OJO FORMULA! P. de corte: ¡OJO FORMULA! Asintotas: ¡OJO FORMULAS! P.criticos: ¡OJO FORMULAS! Crecimiento y Decrecimiento ¡OJO FORMULAS! Max y Minimos ¡OJO FORMULAS! (sub)Representación gráfica(\sub) P. de corte ¡OJO GRAFICO! a) ¡OJO FORMULAS! (sub)CUESTION 4(\sub) a) ¡OJO FORMULAS! b) ¡OJO GRAFICO Y FORMULAS! Conforme vayamos dando valores a la función objteivo, se ira aproximando al valor óptimo que hace máxima la ganancia. ¡OJO FORMULA! MU/MA/08 CUESTION 3 b) ¡OJO FORMULA! c) ¡OJO FORMULAS! Asintotas verticales x = 2 " horizontales y = 1 ¡OJO FORMULA Y GRAFICO! ¡OJO FORMULA! por lo tanto es siempre decreciente. CUESTION 4 (b) ¡OJO GRAFICO Y FORMULAS! Función y Ganancia ¡OJO GRAFICO! - CUESTION 4 (c) ¡OJO FORMULAS! el (-1) lo he hecho para que el denominador (-2) se hiciese positivo para poder poner todo a común denominador 6. ¡OJO FORMULAS! - CUESTION 4 (a) ¡OJO FORMULAS! MU/MA/09 CUESTION 1: a) Derivada de una Función ¡OJO FORMULA! ii) ¡OJO FORMULA! 1) ¡OJO FORMULA! 2) ¡OJO FORMULA! b) Teorema de Rouché-Frobenius. Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones en los cuales el número de ecuaciones es distinto del número de incógnitas. La condición necesaria para poder resolver este tipo de sistemas es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual a la matriz ampliada con los términos independientes. Esto implica que la última columna sea combinación lineal de las otras M = matriz ampliada R(A) = R(M) -> Sistema compatible A = matriz de coeficientes R(A) ¡SIMBOLO! R(M) -> Sistema incompatible (no tiene solución El sistema además de compatible puede ser determinado cuando el rango de la matriz sea igual al número de incógnitas. Rango = Nº de incognitas, determinado signi- fica solución única para el sistema. El sistema es compatible pero indeterminado cuando el número de incógnitas es mayor que el rango de la matriz Nº incognitas > Ranglo Se resuelve a partir de parámetros. Determinado Rango = Nº de Incognitas COMPATIBLE R(A)=R(M) Indeterminado Rango Función constante y por tanto continua f(x) -> Continua (b-a)f(x) - Función continua porque el producto de funciones continuas es otra función continua f(b)-f(a) - Constante y por tanto continua. x - Función continua. (f(b)-f(a)) x - Continua (b-a)f(x) - (f(b)-f(a)) x - Función continua porque la diferencia de funciones continuas es otra función continua. . Razonamiento análogo para la derivabilidad. . h(x) toma valores iguales en los extremos del inter- valo ¡OJO FORMULAS! Comprobado ésto sabemos por el teorema de Rolle que ¡OJO FORMULA! ¡OJO FORMULA! Como queríamos demostrar. c) Ecuación vectorial ¡OJO FORMULA! i) Ecuación paramétrica: ¡OJO FORMULA! La deducción de estas ecuacio- nes está al final del examen. ii) ¡OJO FORMULAS! Voy a poner la ecuación en forma paramétrica. ¡OJO FORMULAS! Vector director de la recta (1,4,3) el cual será el vector normal del plano que me piden. ¡OJO FORMULAS! . CUESTION 1 a) i) Se define como derivada de una función en un punto x0, a la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. ¡OJO FORMULA! b) Teorema de Rouché-Frobenius. Dice que la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas tenga solución, es decir, sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada. c) ¡OJO FORMULAS! El rango de la matriz A de los coeficientes ¡OJO FORMULA! es 1, por lo que para que el sistema sea compatible el rango de la matriz ampliada también habrá de ser 1, y este rango será uno para cual- quier valor de ¡SIMBOLOS! cumpliendose que ¡OJO FORMULA! ¡OJO FORMULA! Sistema compatible indetermina- do ya que ¡OJO FORMULA! ¡OJO FORMULA! Sistema incompatible ya que ¡OJO FORMULA! . CUESTION 2 c) i) Ecuaciones vectorial y paramétrica. La ecuación paramétrica se deduce a partir de la ecuación vectorial, despejando los valores de x, y, z en fun- ción de los parámetros t y s de la siguiente forma. ¡OJO FORMULAS! ¡OJO DIBUJO! Ha de ser combinación lineal de u y V ya q en un plano sólo hay 2 vectores linealmente indepen- dientes. ¡OJO FORMULAS!