BA/MA/01 1. ¡OJO FORMULAS! - a) Si 4a - 4 = 0 -> El sistema es incompatible Si 4a - 4 ¡SIMBOLO! 0 -> El sistema tiene S.V. - b) Puede considerarse que son 3 planos o 1 plano y una recta. 3 Planos -> Si 4a-4 = 0: Los 3 planos no tienen ningún punto en común. Si 4a-4 ¡SIMBOLO! 0: Los 3 planos se cortan en un punto. 1. Plano y una Recta -> Si 4a-4=0 El plano y la recta no tienen ningun punto en común. Si 4a-4=0 El plano y la recta se cortarán. 4. a) ¡OJO GRAFICO! para cada valor de y habla cambia- do su signo, tendrá igual valor absoluto pero diferente signo. b) La función y=2f(ALFA) será la misma función que y=f(ALFA), pero el valor de la coordenada en y será el doble, ya que para cada valor de y tendremos 2 veces x. ¡OJO DIBUJO! 3. a) ¡OJO FORMULAS! b) Como la derivada de ¡SIMBOLO! es igual a ¡SIMBOLO!, la función derivada será la misma. 2. ¡OJO FORMULAS! BA/MA/02 1) a) No, dado que f'>0 solo significa que la función es creciente y no que f es positiva. ¡OJO DIBUJO! así una gráfica similar a esta no lo cumpliria 2) ¡OJO FORMULAS! Por lo que para -2 seran paralelos mientras que en los otros casos se cortaran en una línea (exceptuando el 0) b) - Se busca un punto cualquiera de un plano - " " la distancia del punto al plano ¡OJO FORMULAS! 3) ¡OJO FORMULAS! 4) 82% azul 50% azules 18% azul 92% rojo 50% rojos 8% azul a) ¡OJO FORMULA! posivilidad de ser azul y tener la tinta cambiada ¡OJO FORMULA! " " " rojo " " " " " b) ¡OJO FORMULAS! Habrá un 69'230% de que escriba rojo 5) a) ¡OJO FORMULAS! - Para k=1 la función hará así ¡OJO DIBUJO! no será ni max ni min relativo b) Para todos los valores positivos excluyendo a el o, si fuera negativa siempre habría una ¡ALFA! que anulara el denominador (igual que si fuera 0) ¡OJO FORMULA! Y esto provocaria un punto de discontinuidad BA/MA/03 1) a) ¡OJO FORMULAS! b) En la solución única, los tres planos se cortan en un punto formando una pirámide ¡OJO DIBUJO! En las infinitas soluciones, la solución es un plano que pasa por el punto ¡OJO FORMULA!, es paralelo al eje y y también es paralelo al eje z ¡OJO DIBUJO! 2) ¡OJO DIBUJO! - El plano que pase por los puntos p1, p2 y p3 tendrá como vectorfes directores los vectores perpendiculares respectivos de cada plano y pasarán por el punto a partir del cual se han hecho las dos simetrías. ¡OJO DIBUJO! Ecuación vectorial del plano ¡OJO ECUACION! PLANO ¡OJO FORMULA! Ecuación implícita del plano ¡OJO FORMULA! PLANO ¡OJO FORMULA! para calcular d obligamos a que pase por el punto (1,0-1 ¡OJO FORMULA! 3) a) ¡OJO DIBUJOS! simetria respecto al eje y b) ¡OJO FORMULAS! siempre será simétrica respecto al eje y y además la curva se irá estrechando cada vez más 4) a) ¡OJO GRAFICO! La función f(k) y la función -f(x) son simé- tricas respecto del eje x b) ¡OJO GRAFICO! Los puntos de corte con el eje x se mantienen, pero la función se alarga por el eje y ya que ahora el valor de la y para un mismo valor x en cada una de las funciones sera el doble en y=2f(x) BA/MA/04 1) ¡OJO FORMULAS! el sist. es incompatible y no tiene solución ya que ¡OJO FORMULAS! Si a vale 1 el sist será incompatible ¡OJO FORMULAS! Se resuelve el sistema de valores y obtendremos s.Unica que nos dará una pirámide o prisma. ¡OJO DIBUJO! 2) ¡OJO FORMULAS! 3) ¡OJO FORMULAS Y GRAFICOS! 4) ¡OJO FORMULAS Y GRAFICOS! y=-f(x) és la inversa de la primera funció Quand donem valor 0 a X en f(x) será la meitat de 2f(x) ja que al multiplicar-ho será sempre el doble. ¡OJO FORMULAS! BA/MA/05 1) ¡OJO FORMULAS! Si a=1 el sistema tendría Rango 2 al haber cojido sólo dos pivotes por lo tanto es incompatible y la interpretación geométrica es que la solución es una pirámide. ¡OJO FORMULAS! Es un sistema compatible determinado, única solución. Y son 3 puntos que se unen en plano. La interpretación geométrica es un prisma. p1=(1,0-1) P2 punt simétric p1 respecto al plano x-2y=0 p3 " " p2 " " " x +2y+z=1 Calcular la ecuación del plano que passa por los puntos p1, p2, p3 ¡OJO FORMULAS! 3) ¡OJO FORMULAS Y GRAFICO! 4) ¡OJO GRAFICO! El que era avans creixent passa a èsser decreixent i viceversa. El que era un máx passa a ser un mínim i al revés El que era avans cóncau passa a ser convex i al revés a) ¡OJO FORMULAS Y GRAFICO! b) ¡OJO FORMULAS! BA/MA/06 OPCIO B Ejercicio 1 ¡OJO FORMULAS! I/ Si ¡OJO FORMULA! Compatible determinado Se cortarían en un punto II/ Si a=1 Compatible indeterminado de Rango 2 con 1 grado de libertad ¡OJO FORMULAS! Ejercicio 2 ¡OJO FORMULA! 1) Recta que pasa por p, perpendicular al ¡PI! ¡OJO FORMULA! 2) Punto donde cortan: Q1 ¡OJO FORMULAS! 3) ¡OJO FORMULAS! Para P3 (mismo procedimiento) ¡OJO FORMULAS! Plano que pasa por los tres puntos ¡OJO FORMULAS! Ejercicio 4 a) ¡OJO GRAFICO! Porque los valores son los mismos pero de signo contrario b) ¡OJO GRAFICO! Los cortes con los ejes permanecen igual, pero los demás valores se doblan. La gráfica es más acentuada. Ejercicio 5 ¡OJO FORMULAS! Ejercicio 3 ¡OJO GRAFICO! A medida que a aumenta, el crecimiento de f(x) también aumenta A medida que a ¡OJO GRAFICO! aumenta (cuando a>0) la gráfica aparece más acentuada. Siempre pasa por (0,1) ¡OJO FORMULA! Se representa como la pendiente de la recta tangente (en un punto) BA/MA/07 (sub)OPCION B(\sub) 1. ¡OJO FORMULAS! a) ¡OJO FORMULAS! El Sistema Compatible Indeter Infinitas soluciones El Sistema Incompatible no tiene solución El Sistema será compatible determinado. Solución única ¡OJO FORMULAS! b) En el caso que sean tres planos . Si el sistema es compatible indeterminado la solución será posiblemente 3 planos que coinciden. . Si el sistema es incompatible, la solución serán tres planos en forma de prisma. . Si el sistema tiene solución única entonces los tres planos forman una pirámide. 2.- ¡OJO FORMULA! 3.- ¡OJO FORMULA a) ¡OJO GRAFICO! b) ¡OJO GRAFICO! 4.- ¡OJO FORMULA! a) ¡OJO GRAFICO! b) ¡OJO GRAFICO! 5.- ¡OJO FORMULA! Si f'(x) es igual a cero, la función sera una constante f(x)=x BA/MA/08 1) ¡OJO FORMULAS! Hallo la matriz y resuelvo para encontrar los valores de a. ¡OJO FORMULAS! Incompatible. Tres planos en forma de prisma. Un plano y una recta paralelas. ¡OJO FORMULA! Incompatible. Tres planos en forma de prisma. Un plano y una recta paralelas. ¡OJO FORMULAS! Sistema compatible determinado Solución el punto ¡OJO FORMULA! - Pueden ser tres planos en forma de pirámide. - Una recta que corta a un plano. ¡OJO FORMULAS! 3) ¡OJO FORMULAS Y GRAFICOS! 4) a) ¡OJO GRAFICO! y=-f(x) Para cada valor f(x), y=-f(x) es decir y=a y2=-a siendo a un valor de f(x) b) ¡OJO GRAFICO! Para cada valor y, y2=2y por lo cual las máximas relativas de y2 tienen una altura doble al igual que los mínimos. El punto de corte es igual pues si f(x)=0 2(0)=0 ¡OJO FORMULAS Y GRAFICO! BA/MA/09 1. ¡OJO FORMULAS! b) Cuando a=1 las dos primeras ecuaciones (que correspon- den a dos planos) ¡OJO FORMULA! forman una recta, que viene dada por Cuando ¡OJO FORMULA! las dos primeras ecuaciones de los planos ¡OJO FORMULA! se cortan formando una recta, la qual se corta con el plano ¡OJO FORMULA! en el punto ¡OJO FORMULA! 2. ¡OJO FORMULAS! 4. ¡OJO GRAFICO Y FORMULAS! Corta con el eje y=0 en los mismos puntos ya que el signo no varía (a,b,c) ¡OJO FORMULAS Y GRAFICO! BA/MA/10 (sub)OPCION B(\sub) 1) ¡OJO FORMULAS! a) Cuando 4a-4=0 Será solución única (SU) Cuando 4a-4 ¡SIMBOLO! 0 Será incompatible (INC) b) Cuando sea solución única seran 3 planos Cuando sea incompatible será 1 plano y 1 recta. 4) a) ¡OJO GRAFICOS! La función es la misma pero de signo contrario, ya que como la e, tendremos valores negativos -f(x) la y también cambiará de signo. b) ¡OJO GRAFICO! Como y =2f(x) a cada valor dado de x en y = f(x) será el doble. 3) ¡OJO GRAFICO! a siendo un nº real cualquiera b) Función derivada f'(x) ¡OJO FORMULA Y GRAFICO! Como la derivada es la misma función la representación de esta será la misma (igualmente con los valores de a positivos. 2) ¡OJO FORMULAS!